勾股数 公式 勾股数在线计算
勾股数 公式 勾股数在线计算
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作者 | 王至宏
广州大学数学系
▎勾股定理
公元前1000多年,商高答周公曰:“勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。”故而,勾股定理又称“商高定理”。
2002年数学家大会会标
从第一组勾股数发现至今,已过去3000多年。
对勾股数,你真的了解吗?
会标上的勾股定理
举个例子,请写出所有包含12的勾股数。
经过计算,容易求出这四组
[5,12,13]
[9,12,15]
[12,16,20]
[12,35,37]
但包含12的勾股数只有这4组吗?
此外,平时遇到的互素勾股数中,总有一个是4的倍数,且最大数与该数求和作差,结果都是平方数。
例如
[3,4,5],5+4=32,5-4=12
[7,24,25],25+24=72,25-24=12
[8,15,17],17+8=52,17-8=32
[9,40,41],41+40=92,41-40=12
是巧合还是一般规律?
如果有普遍的勾股数公式,这类命题就可以轻松论证了。
下边就来说说,公式应该怎么求。
勾股树
▎勾股数公式
早在古希腊时期,欧几里得就已经给出了勾股数公式。
而公式的证明,用初中知识就足够了。
很多时候,公式定理怎么得来,比怎么证明更加重要。
▎公式怎么求
公式的产生,有两种方法最常见。
一、直觉
说到公式直觉,就不得不提到,印度一千年来最伟大的数学家——拉马努金。
他没受过正规的高等数学教育,沉迷数论,惯以直觉导出公式,不喜作证明(事后往往证明他是对的)。
他留下的那些没有证明的公式,引发了后来的大量研究。
电影《知无涯者》
他有很强的直觉洞察力,虽未受过严格数学训练,却独立发现了近3900个数学公式和命题。
拉马努金恒等式
他经常宣称在梦中娜玛卡尔女神给其启示,早晨醒来就能写下不少数学公式和命题。他所预见的数学命题,日后有许多得到了证实。
——资料摘自百度百科
直觉是学识,阅历,人生经历等在一瞬间集合之后发生的反应。影响因素很多,通常还需要一万小时的刻意练习。这里重点介绍寻找公式的第二种方法。
二、合情推理
那美女归,林柳绿呀!(钠镁铝硅,磷硫氯氩)
初高中挖空心思背的元素周期表,都要归功于门捷列夫”玩”的一手好牌。
据说门捷列夫从小爱玩扑克牌,经常牌不离手。
有一回,他在撰写《化学原理》时,遇到了难题。为了寻找元素的科学分类方法,不得不研究有关元素之间的内在联系。
正在思考,请勿打扰
他埋头在图书馆里夜以继日地阅读、思考,并琢磨出一套特殊的“扑克牌”来帮助寻找元素之间的规律。
有一天,门捷列夫又旁若无人地摆弄起“纸牌”来了,摆着,摆着,他像触电似的站了起来,在他面前出现了完全没有料到的现象,每一行元素的性质都是按照原子量的增大而从上到下地逐渐变化着。
这一天,元素周期律被发现了。
巧合往往受原理支配,合情推理就是透过巧合寻找原理的过程。
合情推理的大致过程
把勾股数放在一起会出现什么规律?
▎勾股规律
初中经常遇到这几组勾股数,观察规律:
信息预处理
其中c-b总为1或2,把差为2的勾股数同除以2,再重新排列
调整排列
这时,规律比较明显了
a逐行增1,依次为:3,4,5,…
b相邻行作差,差值增1:3.5,4.5,5.5,…
c与b类似
根据规律,正推和逆推,补充式子
新添的式子也都成立
猜想:按规律递推下去,等式始终成立。
▎勾股公式
根据小学“找规律”题的套路,易得
于是
通过公式,可以生成无穷多勾股数,但未必可以生成所有勾股数。
猜想:公式[an,bn,cn]遍历正整数,再同乘一个整数可以得到所有勾股数。
很快,就遇到了例外:
[20,21,29]不能由递推式生成。
但如果n不取整数,令n=2.5
得
再同乘以8,也可以得到[20,21,29]
原公式有缺陷,需要改进,继续观察:
公式中,a为一次齐次函数,b和c为二次非齐次函数,缺少对称美
把常数1改为变元m,增加公式的对称性:
新公式中,abc均为二次齐次多项式
此时,新公式仍满足勾股定理,实际上这就是我们要找的公式。即公式中,m,n跑遍正整数时,可跑遍所有互素勾股数。
P.S. 这是初二时做的探究,过程可能比较啰嗦,但刚好体现了合情推理的过程。
▎回到问题
得到勾股公式(未证),再回顾最开始的两个问题。
互素勾股数[a,b,c]中,总有一个为4的倍数,不妨设为b,最大数为c,则c±b均为平方数。
求包含12的所有勾股数。
公式中
∵b,c为整数
∴m,n同奇偶且m<n
命题1:
①若m,n同为偶数,则4 | a
且此时[a,b,c]有公因子2。
②若m,n同为奇数
设m=2k+1,n=2t+1,则
又∵c-b=m2
c+b=n2
即c±b为平方数,命题1成立。
命题2的一般形式是,求包含k的所有勾股数,在下篇的公式应用中再一并讨论。
公式的证明及应用,下一篇再继续讨论吧。
* 本文作者王至宏,广州大学数学系大四学生,好玩的数学实习作者。欢迎更多人加入到数学科普写作的队伍,好玩的数学给你一个展示才华的平台。
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