简析普朗克尺度的推导过程

许多人都知道，统一信息论虽然是对现代科学体系的横断，是对现代科学基础理论体系的彻底颠覆及全新建构，但在实际构建过程中，并没有完全与现代科学体系的一些发现彻底切割，主要是因为统一信息论采信了现代科学史上的三位巨擘的三个常数：其一就是普朗克常数h=6.62607015×10^-34 J·s，其二是爱因斯坦狭义相对论关于光速不变的常数c=299792458m/s，其三就是牛顿万有引力常数G=6.67408(31)×10-11N·m^2/kg^2。其中，最主要的是采信了普朗克尺度等几个量纲。

为此，在这儿首先需要专门给大家解释这个问题，统一信息论为何采信普朗克量纲？首先，统一信息论的确与普朗克开启的量子论有关系，但这种关系只是采信了在他的理论基础上所建立的一些普朗克尺度等量纲，其余的如后来发展的量子力学等观点则基本上没有采信；其次，我相信普朗克尺度等量纲客观上无限接近于绝对真理，这主要是基于普朗克量纲是建立在一个接近于纯自然化的过程。下面，我就给大家简析一下普朗克尺度的纯自然推导过程。

一、理论出发点

普朗克尺度主要是基于两个理论出发点，而每一个出发点都是当时物理革命划时代的产物。

1、普朗克发起的量子学理论

1900年，德国物理学家普朗克在研究黑洞辐射的时候遇到了一个严重问题，因为当时计算黑体辐射分别需要使用到两个公式，其中一个公式在短波辐射中适用，在长波辐射中不适用，另外一个公式在长波辐射中适用，在短波辐射中不适用。不过，普朗克在一次很偶然的数学计算中，将两个公式强行拼成了一个公式，普朗克发现这个黑体辐射公式可以很好地解释一切波长的能量辐射问题，但是必须在这个公式中加入一个前提：能量的辐射不是连续不断的，而是一段、一段的，由能量的最小单位（量子）传递的。也只有假定电磁波的发射和吸收不是连续的（即假定物质辐射的能量不连续），而是一份一份地进行的，它的能量是某一个最小能量的整数倍，计算的结果才能和试验结果是相符。这样的一份能量叫做能量子，每一份能量子等于普朗克常数乘以辐射电磁波的频率。这一理论的得出，开辟了物理学的一个新领域——量子力学。

基于此，普朗克根据能量辐射公式推导出了普朗克常数。根据普朗克提出的量子学理论，科学家们得出了物理学上最小的距离单位普朗克长度。这关系称为普朗克关系，它由引力常数、光速和普朗克常数的相对数值决定，是物理学意义上最小的距离单位。然后，又通过普朗克常数又推断出了普朗克温度、普朗克时间等物理常数。

2、基于不确定性原理

不确定性原理是海森堡于1927年提出的物理学原理。其主要观点是不可能同时精确确定一个基本粒子的位置和动量。粒子位置的不确定性和动量不确定性的乘积必然大于等于普朗克常数除以4π，公式：ΔxΔp≥h/4π。这表明微观世界的粒子行为与宏观物质很不一样。

考虑到量子力学的不确定性原理，一些基本量度，譬如长度和时间具有不确定性。不确定的程度由普朗克常数确定，从该常数可以定出最小的长度量子，即普朗克长度。测量任何长度不可能比这个更精确，而且比普朗克长度更短的长度是没有意义的。同样，作为时间量子的最小间隔，即普朗克时间，是最短的时间，没有比这更短的时间存在。

二、普朗克尺度的推导过程

1、量纲分析

通过量纲分析可以检查反映物理现象规律的方程在计量方面是否正确，甚至可以寻找物理现象某些规律的线索。因此，量纲分析可以说是物理研究最切近于客观事实的一种方法。

客观现实中各种物理量之间存在着关系，说明它们的结构必然由若干统一的基础成分所组成，物理量的这种基本构成成分统称为量纲。由于物理学研究物质在时空中的演化和运动，所以一切定量问题最终离不开质量、时间和长度这三种基本量。因而最适宜于选取M、T、L作为这三种基本量的量纲。一切其他导出量的量纲可按定义或客观规律表成这三种基本量的量纲组合。不过，现行的国际单位制中基本单位已经发展为七基本量纲，也就是说在国际单位制中其它的单位都是导出单位。这七个基本单位就对应了七种基本物理量，分别是长度单位是m、质量单位是kg、时间单位是s、电流单位是A、热力学温度单位是K、物质的量单位是mol，以及发光强度单位是cd。

1899年，马克斯·普朗克提出了一套特殊的单位制，他试图通过光速 、约化普朗克常数 、牛顿引力常数 3个基本物理学常数，来构建长度、时间、质量、能量等基本物理量的基本单位，这些基本单位统称为普朗克量纲。

普朗克质量的意义大约是一个史瓦西半径等同于康普顿波长的黑洞所带有的质量，这黑洞的半径大约是普朗克长度。这涉及到一个矛盾性问题：要测量一个物体的位置，我们得用照在其上的光反射，如果对它的位置要测到很高的精确度，我们必须用更短波长的光子，如此表示这些光子的能量会更；但如果这光子的能量高到一个程度，它们就会在撞到物体时产生黑洞，而这个黑洞可以“吞噬掉”光子而让实验失败。

通过以上简单的量纲分析计算可发现，当测量物体位置的精准度达到普朗克长度以下，便会发生上述的问题，这让我们无法对位置做出比普朗克长度还要小、还要精确的测量。因此，在任何结合广义相对论与量子力学的量子引力理论中，若在时间短于普朗克时间、距离小于普朗克长度的尺度下，时间和长度等量纲就会失去意义。

这样，最终通过量纲分析，普朗克发现唯一可能的具有对应量纲的物理量如下：

而这些量纲来自于如下三个至关重要的常数：

2、普朗克尺度公式的推导

普朗克尺度的推导过程其实很简单，关键在于你能否在观念上有所突破，突破了这个观念，就会觉得很简单，否则就会感到太难不好理解。

我们现在考察一个史瓦西黑洞，并令它的半径等于它的康普顿波长，经过推导，你就会发现其对应的质量正好就是普朗克质量，这意味着普朗克质量是最小的能稳定存在的黑洞的质量，这黑洞的半径应该就是普朗克长度。

（1）设定一个电中性极小的质点m以光速环绕普朗克质量mp的粒子运动，环绕半径为r，则有：Gmp m/r^2=向心力mc^2/r，r=2Gmp/c^2(史瓦西半径)

（2）在考虑到量子力学与狭义相对论为前提下，康普顿波长被认为是测量粒子位置的基本限制。而粒子对应的康普顿波长为λ=h/(2πmp c)。

由海森堡测不准原理△ⅹ△p≥h/(4π)，则△x≥h/(4π△p)；而德布罗意波长λ=h/△p，则△ⅹ≥λ/(4π)，△ⅹ=r=Gmp/c²≥λ=h/(2πmp c)。由此解得，mp≥√[hc/(2πG)]。

令普朗克尺度lp=r=Gmp/c^2≥(G/c^2)√[hc/(2πG)]=√[Gh/(2πc^3)]，又因角频率 ω = 2πν ，则普朗克尺度的最小值为√[Gh/(2πc^3)]=√[Gћ/(c^3)]=1.61624×10^-35m。

知道普朗克尺度，其他几个普朗克量纲也就很简单地计算出来了。

据此，我们可以发现普朗克尺度推导过程是十分简明的，也没有复杂的变量，普朗克尺度的最终结果也仅仅来自于没有任何变量的三个常量h、c、G，这三个常量是经过无数次测量得出的。据此，江火认为普朗克量纲是一个自然单位系统，因为它们的定义仅来自于自然属性，而不是来自任何人类虚构。

在某些情况下，普朗克量纲可能会对当前物理理论适用范围进行限制，比如我们对大爆炸的理解并没有延伸到普朗克时间，这是因为描述普朗克时代的宇宙需要一种将量子效应纳入量子引力的新理论，而这样的理论在当代科学体系中还不存在。不过，这种理论已经产生，这就是统一信息论（参阅《统一信息论》《紫薇星明》）。

看到这儿，有人可能误以为普朗克尺度并非宇宙最小尺度，而只是人类认知在这个尺度之下失去意义，这是错误的。首先，宇宙一定存在最小尺度，而不是像大家通常认为的可以无限分割，因为宇宙不存在可以无限量变而不质变的事物；其次，任何合理的理论都不会讨论没有意义的东西；第三，普朗克尺度依据三个常量，这三个常量可能会随着人类认知水平的提高而不断完善，普朗克尺度因此也会完善修改，但这不影响普朗克尺度的客观意义；第四，普朗克尺度推导来自于自然单位系统，具有最大的客观性。

江火也不指望那些现代科学基础理论体系中的捍卫者对统一信息论有所认可，只送给你们两句名言以自勉。爱因斯坦：“物理上真实的东西一定是逻辑上简单的东西，也就是说，它在基础上具有统一性”(《爱因斯坦文集》第1卷）。科技史家和科学哲学家托马斯·库恩在《科学革命的结构》中引用马克斯·普朗克的一句名言：“一个新的科学真理取得胜利并不是通过让它的反对者们信服并看到真理的光明，而是通过这些反对者们最终死去，熟悉它的新一代成长起来。”这一断言被称为普朗克科学定律，并广为流传。